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行列式技巧

📅2025/10/10
📝2025/10/10
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行列式线性代数
D=∣−abcdba−dccda−bd−cba∣D=\begin{vmatrix} -a & b & c & d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\ d & -c & b & a \end{vmatrix}

D2=D×Dt=(a2+b2+c2+d2)4D^{2}=D\times D^{t}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{4}

∣xyy⋯yzxy⋯yzzx⋯y⋮⋮⋮⋱⋮zzz⋯x∣\begin{vmatrix} x & y & y & \cdots & y \\ z & x & y & \cdots & y \\ z & z & x & \cdots & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z & z & z & \cdots & x \end{vmatrix} ∣2cos⁡θ112cos⁡θ11⋱⋱⋱⋱112cos⁡θ112cos⁡θ∣=sin⁡(n+1)θsin⁡θ\begin{vmatrix} 2\cos\theta & 1 & & & \\ 1 & 2\cos\theta & 1 & \\ & 1 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & 1 & 2\cos\theta & 1 \\ & & & & 1 & 2\cos\theta \end{vmatrix}=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta} ∣123⋯n120⋯0103⋯0⋮⋮⋮⋱⋮100⋯n∣=n!(1−∑i=2n1i)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & n \end{vmatrix}=n!\left( 1-\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i} \right)

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